Schwarzschildova metrika

25.11.2012 17:12

 

Schwarzschildova metrika je najvšeobecnejšie statické, sféricky symetrické, vákuové riešenie Einsteinových rovníc gravitácie bez elektrického náboja. Schwarzschildova metrika teda opisuječasopriestor generovaný statickým (nerotujúcim) guľovým telesom. Geometria časopriestoru je potom označovaná ako Schwarzschildova.

Túto metriku možno použiť aj na opis pomaly rotujúcich objektov ako sú hviezdy alebo planéty. Svoj zmysel však získava až pri opise kompaktných objektov typu neutrónových hviezd alebočiernych dier (v tejto súvislosti sa tiež hovorí o Schwarzschildovej čiernej diere). Hoci je väčšina týchto relativistických objektov dnes považovaná za (často veľmi rýchle) rotujúce objekty, hodí sa táto metrika na maximálne zjednodušenie opisu fyzikálnych procesov.

Čierna diera, ktorá by mala generovať Schwarzschildov časopriestor je hmotnou guľou, ktorá sa neprejavuje žiadnou rotáciou ani nábojom.

[upraviť]Metrika

Schwarzschildova metrika zapísaná v Boyerovo-Lindquistových súradniciach má tvar

\mathrm{d}s^{2} = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2+ r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta \ \mathrm{d}\phi^2

kde G je gravitačná konštanta, M je interpretované ako hmotnosť centrálneho objektu a r_s je tzv. Schwarzschildov (alebo gravitačný) polomer, ktorý možno vyjadriť ako

r_s = \frac{2GM}{c^2}

[upraviť]Vlastnosti

Schwarzschildova čierna diera sa vyznačuje existenciou horizontu udalostí, ktorý býva v prípade Schwarzschildovej metriky označovaný taktiež ako Schwarzschildova sféra. Schwarzschildova sféra leží na gravitačnom polomere r_s.

Okrem Schwarzschildovej sféry existuje okolo Schwarzschildovy čiernej diery tzv. fotónová sféra. Je to taká sféra, na ktorej vykonávajú fotóny rovnomerný kruhový pohyb okolo čiernej diery.

Ak položíme vo Schwarzschildovej metrike \mathrm{d}s^2=0, \mathrm{d}r=0 a \theta=\frac{\pi}{2}, potom vydelením \mathrm{d}t dostaneme

{\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\right)}^2 = \frac{1}{r^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)

Deriváciou tohoto vzťahu a aplikáciou podmienky \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=0 vyjadrujúcu rovnomernosť kruhového pohybu dostaneme pre polomer fotónovej sféry

r_f = \frac{3GM}{c^2}

Fotónová sféra teda leží vo vzdialenosti r=r_f. Fotónová sféra je význačná tým, že pod touto sférou už nemôžu existovať žiadne kruhové orbity.

Schwarzschildova metrika je singulárna pre r=0 a taktiež na Schwarzschildovej sfére r=r_s. Singularita na Schwarzschildovej sfére je však dôsledkom nevhodnej voľby súradníc a môže byť odstránená prechodom k inému súradnicovému systému. Takáto singularita je označovaná ako súradnicová. Singularitu v bode r=0 nie je možné odstrániť inou voľbou súradníc a ide teda ofyzikálnu singularitu geometrie časopriestoru.

Späť