Gravitácia

31.10.2012 10:21

Gravitácia je príťažlivá sila pôsobiaca medzi hmotnými telesami. Sila, ktorou sa telesá priťahujú, je priamo úmerná súčinu hmotností telies a nepriamo úmerná štvorcu vzdialenos

História

Ako jeden z prvých sa gravitácii venoval Aristoteles, podľa ktorého ťažšie telesá padajú na zem rýchlejšie (toto tvrdenie vyvrátil o takmer dvetisíc rokov neskôr experimentmi v Pise Galileo). Pre nájdenie vzťahu opisujúceho veľkosť gravitačnej sily boli kľúčové presné astronomické pozorovania pohybov v slnečnej sústave (jedným z najlepších pozorovateľov tých čias bol Tycho Brahe, 1546-1601) a pomocou nich formulované Keplerove zákony (1609 a 1619). Gravitačný zákon formuloval Isaac Newton v roku 1687 v svojom známom diele Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Jeho teóriu zovšeobecnil a prepracoval v 20. storočí Albert Einstein vo všeobecnej teórii relativity, podľa ktorej je gravitácia jedným z prejavov zakrivenia časopriestoru. Einstein túto teóriu publikoval v roku 1915. Prvé pozorovanie potvrdzujúce jeho tvrdenia uskutočnil Arthur Eddington 29. mája 1919 počas zatmenia Slnka. Vtedy nameral zakrivenie lúčov hviezd presne zodpovedajúce všeobecnej teórii relativity. Gravitácia je naďalej dôležitým objektom výskumu, mnoho fyzikov pracuje na teórii, ktorá by v sebe zjednotila všetky štyri interakcie pozorované v prírode - gravitačnú, elektromagnetickú, silnú jadrovú a slabú jadrovú (táto teória sa niekedy nazýva teória všetkého - Theory of everything). Jedným z významných pokusov o teóriu všetkého je teória strún, je však aj niekoľko konkurujúcich koncepcií.

[upraviť]Vzťahy týkajúce sa gravitácie

Newtonov gravitačný zákon sa dnes zapisuje v tvare

F=\varkappa\frac{m_1m_2}{r^2},

kde m1 a m2 sú hmotnosti telies medzi ktorými silu počítame, r je ich vzájomná vzdialenosť a \varkappa je gravitačná konštanta. Jej hodnota je \varkappa=6,672\cdot10^{-11}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}.

Je dôležité si uvedomiť, že tento vzťah hovorí o priťahovaní sa telies zanedbateľných rozmerov (v porovnaní s ich vzájomnou vzdialenosťou), tzv. hmotných bodov. Našťastie sa však dá ukázať, že pre telesá so sféricky rozloženou hmotnosťou (teda napríklad homogénne gule, ale aj pre gule, ktorých hustota závisí iba od vzdialenosti od ich stredu). Pre všetky ostatné telesá (napríklad Zem je podľa presných meraní tzv. rotačný elipsoid) dostaneme výsledok, ktorý sa od skutočnosti bude líšiť tým viac, čím je teleso menej sférické a čím sme k nemu bližšie.

Ak do Newtonovho vzťahu dosadíme za jednu hmotnosť, hmotnosť Zeme M_Z=6\cdot10^{24}\,\mathrm{kg} a za vzdialenosť jej polomer R_Z=6378 kilometrov, dostaneme vzťah pre silu pôsobiacou na teleso hmotnosti m v tvare

F=m\frac{\varkappa M_Z}{R_Z^2}=mg.

Zlomok v tomto vzťahu sme označili g a nazývame ho gravitačné zrýchlenie. To čo v skutočnosti na povrchu Zeme "cítime" je však výslednicou gravitačného pôsobenia Zeme a odstredivej silyvznikajúcej v dôsledky jej rotácie. Preto je pre nás dôležité tzv. tiažové zrýchlenie. Jeho veľkosť na povrchu Zeme kolíše v dôsledku rôznych vzdialeností od stredu Zeme (Zem je sploštená a jej rovníkový polomer je väčší ako polárny) a tiež vplyvom rôznej veľkosti odstredivej sily (tá závisí od vzdialenosti od osi otáčania, medzi ňou a zemepisnou šírkou je preto jednoznačný vzťah).

[upraviť]Gravitačné pole

Gravitácia patrí medzi sily pôsobiace na diaľku, preto bolo užitočné zaviesť pojem gravitačné pole. Pomáha nám predstaviť si, ako je pôsobenie na diaľku možné - predpokladáme totiž, že na seba nepôsobia vzdialené telesá navzájom, ale že na teleso pôsobí gravitačné pole rozprestierajúce sa všade v priestore.

Toto gravitačné pole okolo seba vytvára každý hmotný objekt. Jeho intenzita vychádza z Newtonovho gravitačného zákona a pre teleso zanedbateľných rozmerov hmotnosti m má vo vzdialenosti rveľkosť

E=\varkappa\frac{m}{r^2}

Intenzita gravitačného poľa je pritom vektorová veličina, jej veľkosť je daná uvedeným vzťahom, smeruje vždy ku hmotnému bodu, ktorý túto intenzitu vyvolal. Ak do bodu, v ktorom je intenzita gravitačného poľa E umiestníme teleso hmotnosti M, sila naňho pôsobiaca má veľkosť F=ME. Môžeme si všimnúť, že takto dostávame presne to ako priamym dosadením do Newtonovho zákona. To je, samozrejme, nutnosť. Gravitačné pole je užitočné nie kvôli spôsobu výpočtu ale kvôli tomu, že nám umožňuje si predstaviť pôsobenie na diaľku.

Ak je gravitačné pole vytvárané viacerými telesami, intenzita poľa v ľubovoľnom bode priestoru je daná vektorovým súčtom intenzít od jednotlivých telies. Teda

\vec{E}=\vec{E}_1+\dots+\vec{E}_n.

Môžeme si navyše všimnúť, že toto pôsobenie na diaľku je okamžité, hneď ako pohneme hmotným objektom, zmení sa gravitačné pole ním vytvárané v celom vesmíre. Toto je v zjavnom rozpore s Einsteinovou teóriou relativity, podľa ktorej sa žiadny signál nemôže šíriť väčšou rýchlosťou než je rýchlosť svetla. Aj to je jeden z dôvodov, prečo považoval Albert Einstein za potrebné opraviť Newtonov gravitačný zákon.

Gravitačné pole je konzervatívne (keď v ňom teleso prenesieme po uzavretej krivke, v celkovom súčte nevykonáme žiadnu prácu), preto je v ňom možné zaviesť potenciál. Potenciál bodového telesa hmotnosti m vo vzdialenosti r má tvar

\varphi=-\frac{\varkappa m}{r}.

Následne môžeme vypočítať vzťahom E_{POT}=M\varphi aj potenciálnu energiu telesa s hmotnosťou M vo vzdialenosti r od telesa hmotnosti m ako

E_{POT}=-\varkappa\frac{mM}{r}.

Znamienko mínus tu vyjadruje príťažlivosť gravitácie (keď sú telesá blízko seba, majú vďaka znamienku mínus v poslednom vzťahu menšiu energiu než keď sú od seba ďaleko). Dosadením hmotnosti a polomeru Zeme do posledného vzťahu zistíme, že teleso s hmotnosťou 1 kilogram má na povrchu Zeme energiu asi -60 miliónov Joulov. Ak „dosadíme“ do vzťahu pre potenciálnu energiu nekonečnú vzdialenosť, dostaneme nulovú energiu. Teda aby sme preniesli teleso s hmotnosťou 1 kilogram z povrchu Zeme niekam veľmi ďaleko (do nekonečna), potrebujeme 60 miliónov Joulov. V prepočte na výhrevnosť uhlia sú to iba 3 kilogramy uhlia. Problémom kozmonautiky preto nie je ani tak táto energia ako to, že okrem užitočného nákladu vynáša raketa do vzduchu aj sama seba (v skutočnosti treba započítať aj odpor vzduchu, rakety totiž dosahujú pomerne veľké rýchlosti aj v hustých vrstvách atmosféry).

Potencionálnu energiu v Jouloch môžeme vyjadriť aj pomocou Planckových jednotiek, keď za gravitačnú konštantu :\varkappa  dosadíme:

\varkappa=\frac{l_p c^4}{E_p},

kde

l_p=1,616\cdot10^{-35}\,\mathrm{m} - Planckova dĺžka,
c=2,998\cdot10^{8}\,\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1} - Rýchlosť svetla vo vákuu,
E_p=1,956\cdot10^{9}\,\mathrm{J} - Planckova energia.

Potom Potenciálna energia, resp. Gravitačná energia bude:

E_{POT}=\frac{l_p}{r}\frac{mc^2 Mc^2}{E_p}=\frac{l_p}{r}\frac{E_m E_M}{E_p},kde
E_m  je celková Einsteinova energia telesa m,
E_M  je celková Einsteinova energia telesa M,
r  je vzdialenosť telies m a M.

[upraviť]Dôležitosť gravitácie

Gravitačná sila má rozhodujúce postavenie v dynamike vesmíru, stavbe galaxií, hviezdokôp i slnečnej sústavy. Podobne je gravitácia dôležitá i v pozemských mierkach, pri prílivoch a odlivoch, formovaní pohorí, stavbe rastlín i živočíchov. Keď sa však posúvame k menším a menším vzdialenostiam, dôležitosť gravitácie klesá a z pohľadu kvantovej mechaniky je to úplne zanedbateľná sila (okrem niekoľkých extrémnych situácií, medzi ktoré patrí vesmír veľmi krátko po svojom vzniku a horizont čiernej diery).

Ak chceme vedieť, prečo je gravitácia na mikroúrovni nepodstatná, stačí dosadením do Newtonovho zákona a Coulombovho zákona porovnať gravitačné priťahovanie a elektrostatické odpudzovanie dvoch protónov. Nezávisle od ich vzdialenosti je medzi nimi gravitačná sila približne 1043-krát slabšia než sila elektrická. Dôvod, prečo je pri tomto extrémne veľkom nepomere veľkostí, gravitácia vôbec niekedy dôležitá spočíva v tom, že gravitačná sila je výlučne príťažlivá a elektrická sila je príťažlivá i odpudivá. Pretože veľké telesá majú svoje kladné a záporné náboje takmer presne vykompenzované, elektrické sily sú veľmi malé. Gravitačná sila naopak so zväčšovaním telies stále rastie a v astronomických mierkach je už rozhodujúcou.

[upraviť]Voľný pád

Zemská príťažlivosť spôsobuje, že padajúce telesá zväčšujú svoju rýchlosť. Táto rýchlosť nezávisí od ich hmotnosti: ľahký predmet padá rovnako rýchlo ako ťažký - ak naň nepôsobí odpor vzduchu. Prvýkrát si to všimol taliansky vedec Galileo Galilei (1564-1642).ti medzi telesami.

 
Sir Isaac Newton

 

Späť